Os três problemas clássicos da antiguidade

Na geometria da Antiga Grécia existiram três problemas clássicos considerados de extrema importância para o desenvolvimento da Matemática. Estes problemas de construção com régua sem escala e compasso desmontável resistiram às diversas tentativas dos gregos para resolvê-los. Os problemas são: a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo.

Para alguns historiadores, foi Platão, e não Euclides, quem fez a restrição à resolução para a construção utilizando-se apenas de régua sem escala e de compasso. Euclides não menciona a utilização desses dois instrumentos em seu livro Os Elementos, assim como nunca mencionou como as demais construções deveriam ser feitas. Contudo, outros historiadores citam que os únicos instrumentos utilizados por Euclides em Os Elementos foram apenas a régua sem escala e o compasso.

Então qual foi o verdadeiro motivo que levou aos gregos a tentarem resolver os três problemas usando somente esses dois instrumentos? Provavelmente há dois motivos: a ideia de perfeição que os geômetras gregos atribuíam à linha reta e ao círculo, segundo Aristóteles: o que não tem nem começo nem fim é, portanto, ilimitado; e o conflito gerado pela descoberta da irracionalidade da medida da diagonal de um quadrado de lado unitário realizada pelos pitagóricos, embora a diagonal possa ser construída com régua e compasso.

Os três problemas clássicos fascinaram muitos matemáticos gregos da antiguidade e matemáticos, amadores ou não, de todas as épocas. Desde então, muitas tentativas foram realizadas para determinar a solução dos famosos problemas gregos. Dessas tentativas surgiram algumas curvas: umas se caracterizam pela beleza, outras pela simplicidade de construção e outras ainda pela complexidade para construí-las (EVES, 2004, p. 133-134; PITOMBEIRA, 2008, p. 31-33; STRUIK, 1989, p. 76-77).

A duplicaçãodo cubo, conhecido como problema deliano, recebeu esta alcunha por ter, possivelmente, surgido na ilha de Delos. Não se sabe exatamente por quem e quando o problema foi formulado pela primeira vez, mas existem várias versões sobre sua origem. Uma delas conta que no ano 427 a.C., o célebre estadista Péricles (c. 495/492 a.C.-c.427/429 a.C.)^[1] e um terço da população de Atenas morreram de peste. Ela perdurou por quatro anos, e hoje sabemos, por meio da análise de DNA, que se tratava de peste bubônica. Devido a essa perda, os habitantes consultaram o oráculo de Apolo em Delos sobre como combater a doença, e a resposta dada pelo oráculo foi que o altar que possuía o formato de um cubo deveria ser duplicado. Os atenienses atenderam ao pedido dobrando as dimensões do altar, mas esta ação não afastou a peste, pois o altar foi multiplicado por 8 (BOYER, 2010, p. 44-45; GUELLI, 1996, p. 45-46; STEIN, 2008, p. 81, 83-85; GARBI, 2007, p. 42, 370-371).

Este problema consiste em construir com régua sem escala e compasso, um cubo cujo volume seja o dobro de um cubo dado de aresta l, ou seja, duplicar o volume do cubo.

Provavelmente, o problema da duplicação do quadrado levou os gregos a pensarem em uma solução para o problema da duplicação do cubo da seguinte forma:

Figura 3.1 – Duplicação do cubo feita pelos atenienses dobrando suas medidas. 

Fonte: Adaptação de Guelli (1996, p. 45-46).

A construção de um cubo cujo volume seja o dobro do volume de outro cubo se reduz à seguinte equação cúbica:

Figura 3.2 – Duplicação do cubo utilizando a notação atual.

Fonte: Adaptação de Guelli (1996, p. 45-46).

Assim, dado um cubo de lado Ɩ determinamos outro de lado x, tal que o volume do segundo cubo é o dobro do volume do primeiro cubo (GUELLI, 1996, p. 46).

O primeiro progresso real para determinar a solução da duplicação do cubo deve-se a Hipócrates de Chios (c. 470 a.C.-c. 410 a.C.). Ele propôs uma solução através de duas médias proporcionais entre dois segmentos de comprimento Ɩ e 2Ɩ. Denotando-se as médias proporcionais por x e y, então:

Da proporção resultam as seguintes equações:

Substituindo-se a equação (I) em (II), obtém-se:

Assim, x é a aresta de um cubo cujo volume é o dobro de um cubo de aresta l (EVES, 2004, p. 135).         

Como os gregos já sabiam como duplicar o quadrado, possivelmente esse fato os levou a pensar que poderia existir também uma solução para a duplicação do cubo (ROONEY, 2012, p. 81; COUTINHO, 2008, p. 35-36; ANDERSON, 1992, p. 34-35).

A trissecção do ângulo cujaorigem é desconhecida e não existe nenhuma história ou lenda que lhe seja associada. Entretanto, é muito provável que tenha surgido da construção de polígonos regulares ou como uma extensão da bissecção de um ângulo, problema muito fácil e possível de executar com o  compasso e a régua sem escala. O matemático Pappus de Alexandria (c. 290 d.C.-400 d.C.) e Proclo atribuem ao filósofo e matemático Hípias de Elis (c. 460 a.C.-400 a.C.) a construção em 425 a.C. da trissetriz, uma das mais antigas curvas conhecidas depois da reta e da circunferência. Possivelmente, a curva foi construída visando à trissecção do ângulo e já era do conhecimento de Hípias que a trissetriz poderia ser utilizada na construção da quadratura do círculo, no entanto, não se conhece nenhuma tentativa de demonstração geométrica por ele realizada para resolver esse problema.

Para demonstrar a trissecção do ângulo, Hípias utilizou curvas e construções que não podem ser desenhadas apenas com régua e compasso, provavelmente ele usou o método de construções por neusis, ou seja, ajustando um segmento dado entre duas curvas dadas, com a condição de que o segmento passe por um ponto dado. Assim: seja o quadrado ACBD (Figura 3.3) e AB o lado deslocado para baixo uniformemente a partir de sua posição presente até coincidir com DC. Supondo-se que esse movimento leve exatamente o mesmo tempo que o lado DA leva para girar em sentido horário a partir de sua posição presente até coincidir com DC. Se as posições dos dois segmentos são dadas em um instante qualquer fixado por A’B’ e DA’’, respectivamente, e se P é o ponto de interseção de A’B’ e DA’’, o lugar descrito por P durante esses movimentos será a trissetriz de Hípias, isto é, a curva APQ na figura. A curva permite a trissecção de um ângulo facilmente: Se  é o ângulo a ser trissectado, simplesmente trissectamos os segmentos B’C e A’D com os pontos R, S, T e U. Se as retas TR e US cortam a trissetriz em V e W, respectivamente, as retas VD e WD, pela propriedade da trissetriz, dividirão o ângulo  em três partes iguais.

Figura 3.3 – Método da trissecção de Hípias.

Fonte: Adaptação de Boyer (2010, p. 47).

A trissetriz, também chamada quadratriz,  usa-se não para trisseccionar um ângulo dado, mas também multisseccioná-lo em um número de partes iguais (BOYER, 2010, p. 47-48; EVES, 2004, p. 136-139; HABEGGER, 1992, p. 36-38; PITOMBEIRA, 2008, p. 49-50).

O problema da quadratura do círculo, que consiste em construir um quadrado cuja área seja igual à área de um círculo dado, utilizando apenas a régua sem escala e o compasso. A origem do interesse grego nos problemas de quadratura é pouco conhecida. Provavelmente, o problema primitivo do qual se originaram todos os outros foi o da quadratura do retângulo. Aristóteles afirmava que a origem deste problema foi a procura da média geométrica. Dentre os três problemas clássicos da antiguidade, possivelmente o problema da quadratura do círculo foi o mais famoso.

Os gregos conheciam este problema antes de 400 a.C. Anaxágoras de Alexandria (c. 500 a.C.-428 a.C.) é considerado o primeiro matemático (do qual se tem conhecimento) a tentar determinar a solução para esse problema, porém seu aporte é desconhecido. Em 350 a.C., o geômetra grego Dinóstrato (c. 499 a.C.-427 a.C.) desenvolveu ummétodo para quadrar o círculo através do uso da trissetriz de Hípias, tornando o problema uma questão simples. Contudo, ele não utilizou exclusivamente a régua e o compasso para determinar a solução. A demonstração apresentada para o problema foi: seja o quadrado ACBD da figura 3.4 e BED um quadrante de um círculo de centro em A e raio AB; supondo que o raio se movimente da posição AB para posição AD, enquanto ao mesmo tempo o segmento BC se move uniformemente para posição AD, sempre paralelo a si mesmo; os movimentos relativos do raio e do segmento são sincronizados de modo que estes comecem a se mover a partir da posição original no mesmo instante e alcancem a posição AD também no mesmo instante. Os pontos correspondentes de intersecção do raio e do segmento em cada momento formam o lugar desejado, e assim BFLG é a quadratriz, curva que determina a solução da quadratura do círculo (ANDERSON, 1992, p. 39-40; BOYER, 2010, p. 44-47; EVES, 2004, p. 140; PITOMBEIRA, 2008, p. 49-50).

Figura 3.4 – Método de Dinóstrato para a quadratura do círculo.

Fonte: Adaptação de Anderson (1992, p. 40).

Se passaram mais de 2.200 anos para saber-se que não era possível resolver os três problemas da Antiga Grécia usando somente a régua sem escala e o compasso, aceitos por Platão para obter a solução dos três problemas.

Em 1837, o jovem engenheiro e matemático, o francês Pierre Laurent Wantzel (1814-1848) conseguiu provar que a trissecção do ângulo e a duplicação do cubo são impossíveis de construir com compasso e régua não graduada, ele encerrou as milenares discussões em apenas sete páginas, na qual a Álgebra teve um papel de destaque (GARBI, 2007, p. 42, 370-371).

Sobre a quadratura do círculo, em 1822, Ferdinand Lindemann (1852-1939) provou que π é um número transcendental, ou seja, não é raiz de qualquer que seja a equação polinomial com coeficientes racionais. Logo, não é possível construir a quadratura do círculo com régua e compasso sem escala. Em 1767, o matemático francês, Johann Heinrich Lambert (1728-1777) fez a primeira demonstração da irracionalidade de π (ANDERSON, 1992, p. 39-40; EVES 2004, p. 397; GUELLI, 1996, p. 18-19).

Houve diversos matemáticos que construíram passo a passo os três problemas por meio de aparelhos mecânicos, dentre eles: Platão, Erastótenes, Nicomedes, Árquitas, Menaecmo, Diocles, Hierão, Arquimedes etc.

Com o uso da régua somente se podem construir segmentos de reta que originam equações de 1º grau e com o compasso, circunferências ou arcos que resultam em equações de 2º grau. Portanto, o máximo que se consegue construir com ambos os instrumentos são equações de 2º grau. Dessa forma, a relação que existe entre a Álgebra e a Geometria é mútua, ou seja, os procedimentos algébricos nos permitem determinar a solução de problemas geométricos e as demonstrações geométricas nos fornecem métodos para resolver equações algébricas.

Após o período glorioso da matemática grega, entre os séculos V a.C.-III a.C., seguiu-se o seu declínio no período compreendido entre 250 a.C. a 350 d.C., denominado o século da Idade de Prata. No início do período destacou-se o maior algebrista grego, Diofanto de Alexandria (c. 250 d.C.-334 d.C.). Na história da Aritmética, ele desempenha um papel semelhante ao que Euclides teve na Geometria Clássica. Sua obra mais importante, Arithmética, trata sobre equações que possuem como soluções números inteiros ou racionais denominadas equações diofantinas (BOYER, 2010, p. 122-125, 210).

A sucessão de Diofanto na matemática coube à filósofa e matemática grega Hipátia (355 d.C.-415 d.C.), nascida em Alexandria, filha do filósofo, astrônomo e matemático grego Téon (c. 335 d.C.-c. 405 d.C.), renomado autor e professor em Alexandria. Ela tinha uma forte ligação com o pai, que lhe transmitiu, além de conhecimentos, a paixão pela procura de respostas para o desconhecido. Hipátia estudou matemática, astronomia, filosofia, religião, poesia, artes, oratória e retórica na Academia de Alexandria. Durante a adolescência, viajou para Atenas para concluir sua educação na Academia Neoplatônica. Ali estudou as obras de Diofanto. Ao retornar a Alexandria, tornou-se professora na Academia, e aos 30 anos, foi nomeada diretora. Durante esse período, escreveu muitas de suas obras. Ela desenvolveu alguns instrumentos usados em Física e Astronomia, dentre eles o hidrômetro. Sabe-se que Hipátia desenvolveu também estudos relativos à Álgebra de Diofanto, comentários sobre matemáticos clássicos e, em parceria com seu pai, escreveu um tratado sobre Euclides. O brilhantismo da matemática grega culmina com a tragédia de Hipátia, que viveu em um período de luta entre o Paganismo decadente e o Cristianismo ascendente no mundo greco-romano. Ela ensinava que o universo era regido por leis matemáticas e devido a isso foi considerada herética. Em 412, Cirilo (c. 375 d.C.-444 d.C.) foi nomeado Patriarca de Alexandria, algo que selou o destino de Hipátia. Em 415, quando regressava da Academia, foi atacada na rua por uma multidão de cristãos enfurecidos, foi golpeada, despida e arrastada pelas ruas da cidade até o interior de uma igreja, donde foi cruelmente torturada até a morte, tendo o corpo dilacerado e queimado em uma fogueira. A morte de Hipátia marcou o fim de Alexandria como centro científico (EVES, 2004, p. 212-213).

Os gregos não hesitaram em adquirir conhecimento de outras culturas e os sistematizaram, consequentemente passando à frente de seus predecessores. Eles realizaram proezas que marcaram a história da humanidade em todas as áreas do pensamento humano em que se propuseram a trabalhar. Para eles não foi suficiente o caráter empírico, buscaram sempre descobrir demonstrações dedutivas rigorosas de normas relativas no âmbito teórico e nas aplicações práticas da Geometria.

O mapa a seguir exibe a distribuição da cultura, do conhecimento e do lugar de nascimento dos sábios mais importantes da Antiga Grécia.

Figura 3.5 – Principais centros de origem grega em meados do século VII a.C.

Fonte: Adaptação de Garbi (2007, p. 20).

REFERÊNCIAS

ANDERSON,  L. Duplicação do cubo. In: EVES, H. Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula: geometria. Tradução de Hygino H. Domingues. São  Paulo: Atual Editora, 1992. p. 34-36.

BOYER, C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blücher, 2010.

COUTINHO,  L. Convite às geometrias não-euclidianas. Rio de Janeiro: Interciência, 2008.

EVES, H. Introdução à história da matemática.  Campinas: UNICAMP, 2004.

GARBI, G. G. A rainha das ciências: um passeio pelo maravilhoso mundo da matemática. 2. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2007.

GUELLI, O. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1996.

_______. Equação: o idioma da álgebra. São Paulo: Ática, 1996.

HABEGGER, P. O problema da trissecção. In: EVES, H. Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula: geometria. Tradução de Hygino H. Domingues.São Paulo: Atual Editora, 1992. p. 36-38.

PITOMBEIRA, J. Três excursões pela história da matemática. Rio de Janeiro: Intermat, 2008.

ROONEY, A. A história da matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M. Book, 2012.

STEIN, J. Como a matemática explica o mundo: o poder dos números no cotidiano. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008.

STRUIK, D.  História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1989.

^[1]     Péricles viveu no século V a.C. durante a chamada Era de Ouro da Grécia.